Question

【題目】拋物線l1：y＝x2+bx+c與它的對(duì)稱軸x＝﹣2交于點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B（0，﹣2）．

（1）求拋物線l1的解析式；

（2）如圖1，直線y＝kx+2k﹣8（k＜0）與拋物線l1交于點(diǎn)E，F，若△AEF的面積為，求k的值；

（3）如圖2，將拋物線l1向下平移n（n＞0）個(gè)單位長度得到拋物線l2，拋物線l2與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線l2于另一點(diǎn)D；拋物線l2的對(duì)稱軸與x軸的交于點(diǎn)M，P為線段OC上一點(diǎn)，若△POM與△PCD相似，并且符合該條件的點(diǎn)P有且只有2個(gè)，求n的值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+4x﹣2；（2）k＝﹣4；（3）當(dāng)n＝4﹣2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2）和（0，﹣）；當(dāng)n＝4時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣2）和（0，﹣4）．

【解析】

（1）待定系數(shù)法求解可得；

（2）設(shè)直線y=kx+2k-8與拋物線l1的對(duì)稱軸交點(diǎn)為G，則G（-2，-8），由頂點(diǎn)A坐標(biāo)知AG=2，由S△AEF=S△AGE-S△AGF=AG（-2-xE）-AG（-2-xF）=AG（xF-xE）=2知xF-xE=2，再聯(lián)立得，消去y整理得x2+（4-k）x-2k+6=0，據(jù)此知，繼而得出xF-xE=，據(jù)此可得關(guān)于k的方程，解之可得答案；

（3）分△PCD∽△MOP和△PCD∽△POM得出t關(guān)于n的關(guān)系式，再根據(jù)符合該條件的點(diǎn)P有且只有兩個(gè)，進(jìn)一步求解可得．

解：（1）∵y＝x2+bx+c與它的對(duì)稱軸x＝﹣2交于點(diǎn)A，且經(jīng)過點(diǎn)B（0，﹣2）

∴可得，解得，

∴拋物線l1的解析式為y＝x2+4x﹣2．

（2）如圖1，設(shè)直線y＝kx+2k﹣8與拋物線l1的對(duì)稱軸交點(diǎn)為G，則G（﹣2，﹣8），

又可得拋物線l1的頂點(diǎn)A（﹣2，﹣6），

∴AG=2，

S△AEF=S△AGE﹣S△AGF

又∵S△AEF＝2，AG＝2，

∴xF﹣xE＝2，

將拋物線l1與直線y＝kx+2k﹣8聯(lián)立得，

消去y得x2+4x﹣2＝kx+2k﹣8，

整理得x2+（4﹣k）x﹣2k+6＝0，得，

∴xF﹣xE＝，

∴，

解得k＝±4，

又k＜0，

∴k＝﹣4．

（3）設(shè)拋物線l2的解析式為y＝x2+4x﹣2﹣m，

∴C（0，﹣2﹣n），D（﹣4，﹣2﹣n），M（﹣2，0）

設(shè)P（0，t）．

①當(dāng)△PCD∽△MOP時(shí)，，

∴，

∴t2+（n+2）t+8＝0；

②當(dāng)△PCD∽△POM時(shí)，，

∴，

∴t=；

（Ⅰ）當(dāng)方程①有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根時(shí)，

△＝（n+2）2﹣4×1×8＝0，

解得n＝±4﹣2，

又n＞0，

∴n＝4﹣2，

此時(shí)方程①有兩個(gè)相等實(shí)根t1＝t2＝﹣2，方程②有一個(gè)實(shí)數(shù)根t= ；

∴n＝4﹣2，

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2）和（0，）；

（Ⅱ）當(dāng)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，

把②代入①，得：，即（n+2）2＝36，

解得n1＝4，n2＝﹣8，

又n＞0，

∴n＝4，

此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，t1＝﹣2，t2＝﹣4，方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根t＝﹣2；

∴n＝4，

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣2）和（0，﹣4），

綜上，當(dāng)n＝4﹣2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，﹣2）和（0，）；當(dāng)n＝4時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣2）和（0，﹣4）．