【題目】已知二次函數的圖象經過點（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4）且與x軸交于A、B兩點，其頂點為P． 
（1）試確定此二次函數的解析式；
（2）根據函數的圖象，指出函數的增減性，并直接寫出函數值y＜0時自變量x的取值范圍．
（3）求△ABP的面積．
【答案】
（1）解：設此二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c，
∵二次函數的圖象經過點（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4），
∴ 
，
解得a=1，b=2，c=﹣3，
∴此二次函數的解析式是：y=x2+2x﹣3
（2）解：∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，點P為此二次函數的頂點坐標，
∴點P的坐標為（﹣1，﹣4），
當x＜﹣1時，y隨x的增大而減小；
當x＞﹣1時，y隨x的增大而增大，
將y=0代入y=x2+2x﹣3得，x1=﹣3，x2=1，
∴點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0）
∴函數值y＜0時自變量x的取值范圍是：﹣3＜x＜1
（3）解：∵點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），頂點P的坐標為（﹣1，﹣4），
∴△DEF的面積= 
×4×4=8
【解析】（1）根據二次函數的圖象經過點（0，﹣3），（2，5），（﹣1，﹣4），可以求得此二次函數的解析式；（2）首先根據第（1）問中求得的函數解析式可化為頂點式，從而可以得到頂點P的坐標，再令y=0代入求得的函數解析式可以求得點A和點B的坐標，從而可以得到函數值y＜0時自變量x的取值范圍，由頂點P的坐標和函數圖象可以得到函數的增減性；（3）由（2）可知點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），頂點P的坐標為（﹣1，﹣4），所以AB的長可求出，△ABP邊AB的高即為點P的縱坐標的絕對值，利用三角形面積公式計算即可．
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADB+∠EDC=120°． 
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）若BD=3，CE=2，求△ABC的邊長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，∠A=∠B=50°，P 為 AB 中點，點 M 為射線 AC 上（不與點 A 重合）的任意一點，連接 MP， 并使MP 的延長線交射線BD 于點N，設∠BPN=α．
（1）求證：△APM≌△BPN；
（2）當 MN=2BN 時，求α的度數；
（3）若△BPN 為銳角三角形時，直接寫出α的取值范圍．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】閱讀下列一段文字，然后回答下列問題：
已知平面內兩點M（x1，y1）、N（x2，y2），則這兩點間的距離可用下列公式計算
MN=
.
例如：已知P（3，1）、Q（1，-2），則這兩點的距離PQ=
.特別地，如果兩點M（x1，y1）、N（x2，y2）所在的直線與坐標軸重合或平行于坐標軸或垂直于坐標軸，那么這兩點間的距離公式可簡化為MN=|x1-x2|或|y1-y2|．
（1）已知A（1，2）、B（-2，-3），試求A、B兩點間的距離；
（2）已知A、B在平行于y軸的同一條直線上，點A的縱坐標為5，點B的縱坐標為-1，試求A、B兩點間的距離；
（3）已知△ABC的頂點坐標分別為A（0，4）、B（-1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形狀嗎？請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（ ）
A. 1︰1︰1
B. 1︰2︰3
C. 2︰3︰4
D. 3︰4︰5
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點，連接DE并延長交CB的延長線于點F，點G在邊BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE；
（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關系并說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；
（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；
（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系.
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