Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上．點O從點D出發，沿DC向點C勻速運動，速度為3cm/s，以O為圓心，1cm半徑作⊙O．點P與點D同時出發，設它們的運動時間為t（單位：s） （0≤t≤）．

（1）如圖1，連接DQ，若DQ平分∠BDC，則t的值為　 　s；

（2）如圖2，連接CM，設△CMQ的面積為S，求S關于t的函數關系式；

（3）在運動過程中，當t為何值時，⊙O與MN第一次相切？

Answer 1

【答案】（1）1s; （2）S=﹣t2+t；（3）.

【解析】試題分析：（1）由△DQC≌△DQP，推出DP=DC=6，在Rt△ADB中，BD=10，推出PB=4即可解決問題；

（2）過點M作MH⊥BC于點H，證明△HMQ∽△PQB，，由=，得MH=t，即可求得△CMQ的面積；

（3）設⊙O與MN相切于點E，連接OE，作OF⊥BD于點F，可證得△DFO∽△DCB，

由此即可解得：t值．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=CD=6cm、AD=BC=8cm，

則DB=10cm，

∵四邊形PQMN為正方形，

∴∠BPQ=∠C=90°，

∵∠PBQ=∠CBD，

∴△BPQ∽△BCD，

∴==，即==，

則BQ=5t、PQ=3t，

∴CQ=BC﹣BQ=8﹣5t，

∵DQ平分∠BDC，

∴QP=QC，即3t=8﹣5t，

解得：t=1，

故答案為：1；

（2）如圖a，過點M作MH⊥BC于點H，

∴∠MHQ=∠QPB=∠MQP=90°，

則∠HMQ+∠HQM=∠PQB+∠HQM=90°，

∴∠HMQ=∠PQB，

∴△HMQ∽△PQB，

∴=，即=，

則MH=t，

∴S=×（8﹣5t）t=﹣t2+t；

（3）如圖b，設⊙O與MN相切于點E，連接OE，作OF⊥BD于點F，

則四邊形OENF為矩形，

∴OE=FN=1，∠DFO=∠C=90°，

∵∠FDO=∠CDB，

∴△DFO∽△DCB，

∴，即，

解得：t=．