Question

閱讀下面的材料：
在平面幾何中，我們學過兩條直線平行的定義．下面就兩個一次函數的圖象所確定的兩條直線，給出它們平行的定義：設一次函數y=k₁x+b₁（k₁≠0）的圖象為直線l₁，一次函數y=k₂x+b₂（k₂≠0）的圖象為直線l₂，若k₁=k₂，且b₁≠b₂，我們就稱直線l₁與直線l₂互相平行．
解答下面的問題：
（1）已知一次函數y=-2x的圖象為直線l₁，求過點P（1，4）且與已知直線l₁平行的直線l₂的函數表達式，并在坐標系中畫出直線l₁和l₂的圖象；
（2）設直線l₂分別與y軸、x軸交于點A、B，過坐標原點O作OC⊥AB，垂足為C，求l₁和l₂兩平行線之間的距離OC的長；
（3）若Q為OA上一動點，求QP+QB的最小值，并求取得最小值時Q點的坐標．

Answer 1

分析：（1）直線l₂的解析式是一次函數，一次項系數是-2，則直線l₂的解析式為y=-2x+b，把點P（1，4）代入即可求得b的值，則函數的解析式即可求解；
（2）首先求得OA、OB的長度，依據S△OAB=

1

2

OA•OB=

1

2

AB•OC，即可求得OC的長度；
（3）B關于y軸的對稱點B′（-3，0），連結B′P交y軸于Q，即可求解．

解答：解：（1）∵l₁∥l₂，
∴設直線l₂的解析式為y=-2x+b，把點P（1，4）代入得，4=-2+b，解得：b=6，
∴y=-2x+6，
畫圖如圖所示：


（2）直線l₂與y軸、x軸的交點A、B的坐標，分別為（0，6）（3，0）；
所以OA=6，OB=3，則AB=3

5

，
因為OA×OB=AB×OC，
所以OC=

6

5

=

6 5

5

；
（3）∵B關于y軸的對稱點B′（-3，0），連結B′P交y軸于Q，
∴QP+QB的最小值為4

2

，
∵直線B′P的解析式為y=x+3，
∴Q（0，3）．

點評：本題是待定系數法求函數的解析式，以及直角三角形的面積，軸對稱的綜合應用，正確確定Q的位置，理解平行的條件是關鍵．