Question

【題目】已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm， CD為AB邊上的高．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著△ABC的三條邊逆時(shí)針走一圈回到A點(diǎn)，速度為2cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

(1) 求CD的長(zhǎng)；

(2) t為何值時(shí)，△ACP為等腰三角形？

(3) 若M為BC上一動(dòng)點(diǎn)，N為AB上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在M，N使得AM+MN的值最小，如果有請(qǐng)尺規(guī)作出圖形（不必求最小值），如果沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）4.8;(2) 6、8.4、9、9.5;(3)存在，具體作法見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算；
（2）分點(diǎn)P在BC上和P在AB上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的判定定理計(jì)算；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱-最短路徑的作法作圖即可．

試題解析：

（1）∵AC2+BC2=36+64=100，AB2=100，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，

∴×AC×BC=×AB×CD，

解得，CD=4.8cm；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上，CA=CP時(shí)，CP=6，

則t=12÷2=6s，

當(dāng)點(diǎn)P在AB上，CA=CP時(shí)，

在Rt△ADC中，AD==3.6，

如圖，

∵CA=CP，CD為AB邊上的高，

∴DP=AP=3.6，

則t=（24﹣7.2）÷2=8.4，

當(dāng)AC=AP時(shí)，t=（24﹣6）÷2=9，

當(dāng)PA=PC時(shí)，

如圖，作PH⊥AC于H，

則AH=CH=3，HP=BC=5，

由勾股定理得，AP=5，

則t=（24﹣5）÷2=9.5，

故當(dāng)t=6、8.4、9、9.5時(shí)，△ACP為等腰三角形；

（3）如圖，作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，過(guò)A′作AB的垂線A′N，垂足為N，交BC于M點(diǎn)，M、N即為所求．