Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°， AC＝4.5cm． M是邊AC上的一個動點，連接MB，過點M作MB的垂線交AB于點N． 設AM=x cm，AN=y cm．（當點M與點A或點C重合時，y的值為0）

探究函數y隨自變量x的變化而變化的規律．

（1） 通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組對應值，如下表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	0	0.4	0.8	1.2		1.6	1.7	1.6	1.2	0

（要求：補全表格，相關數值保留一位小數）

（2）建立平面直角坐標系xOy，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；

（3）結合畫出的函數圖象，解決問題：當AN=AM時，AM的長度約為 cm（結果保留一位小數）．

Answer 1

【答案】（1）1.4； （2）詳見解析；（3）3.4．

【解析】

（1）如圖，作輔助線：過N作NP⊥AC于P，證明△NPM∽△MCB，列比例式可得結論；
（2）描點畫圖即可；
（3）同理證明△NPM∽△MCB，列比例式，解方程可得結論．

解：（1）如圖，過N作NP⊥AC于P，

Rt△ACB中，∠CAB＝30°， AC＝4.5cm．
∴BC=
當x=2時，即AM=2，
∴MC=2.5，
∵∠NMB=90°，
易得△NPM∽△MCB，
∴ = ，
設NP=5a，PM=9a，則AP=15a，AN=10a，
∵AM=2，
∴15a+9a=2，
a= ，
∴y=AN=10×1.73×≈1.4；

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5
y/cm	0	0.4	0.8	1.2	1.4	1.6	1.7	1.6	1.2	0

故答案為：1.4；

（2）如圖所示：

（3）設PN=a，則AN=2a，AP=a，

∵AN=AM，∴AM=4a,
如圖，由（1）知：△NPM∽△MCB，
∴，即 ，
解得：a≈0.84，

∴AM=4a=4×0.84=3.36≈3.4（cm）．
故答案為：（1）1.4； （2）詳見解析；（3）3.4．