Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C,D在⊙O上，且BC=CD,過C作CE⊥AD,交AD延長線于E，交AB延長線于F點，

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若AB=4ED，求cos∠ABC的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）要證EF是⊙O的切線，只要證∠OCE=90°，根據OC=OA得到∠OCA=∠OAC，再證∠OCA=∠EAC，從而證∠OCA+∠ECA=90°；

（3）先證△CDE∽△ABC得到對應邊成比例，由AB=4DE，BC=CD得到BC=AB，從而求出cos∠ABC=．

（1）證明：連接OC、AC
∵CE⊥AD
∴∠EAC+∠ECA=90°
∵OC=OA
∴∠OCA=∠OAC
又∵BC=CD
∴∠OAC=∠EAC
∴∠OCA=∠EAC
∴∠ECA+∠OCA=90°
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：∵EF是⊙O的切線
∴∠ECD=∠EAC
又∵BC=CD
∴∠EAC=∠BAC
∴∠ECD=∠BAC
又∵AB是直徑
∴∠BCA=90°
在△BAC和△DCE中
∠BCA=∠DEC=90°
∠ECD=∠CAB
∴△CDE∽△ABC
∴
又∵AB=4DE，CD=BC
∴

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