Question

如圖，四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13．
（1）請你說明△ACD是直角三角形；
（2）請你在規格12×12的正方形網格中（小正方形的邊長為1），畫出滿足下列條件的四邊形A′B′C′D′：
①既是軸對稱又是中心對稱；
②四邊形A′B′C′D′的面積為四邊形ABCD面積的三分之一；
③四邊形A′B′C′D′的頂點在網格中的小正方形的頂點上．

Answer 1

分析：（1）先根據勾股定理求出AC的長，在△ACD中，再由勾股定理的逆定理，判斷三角形的形狀；
（2）根據直角三角形的面積公式得出四邊形ABCD面積，進而得出四邊形A′B′C′D′的面積，再利用軸對稱圖形以及中心對稱圖形的性質得出符合題意的圖形．

解答：解：（1）△ACD是直角三角形．
理由是：
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC²=AB²+BC²=9+16=25，∴AC=5，
又∵AC²+CD²=25+144=169，AD²=169，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD是直角三角形．

（2）∵四邊形ABCD面積的為：

1

2

×3×4+

1

2

×5×12=36，四邊形A′B′C′D′的面積為四邊形ABCD面積的三分之一；
∴四邊形A′B′C′D′的面積為：12，
∵四邊形A′B′C′D′，既是軸對稱又是中心對稱，四邊形A′B′C′D′的頂點在網格中的小正方形的頂點上，
∴可以畫一個面積為12的矩形，如圖所示：答案不唯一．

點評：本題考查了勾股定理及逆定理的綜合應用以及軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質，根據已知得出圖形面積是解題關鍵．