Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．

（I）求證：AE=EF；
（Ⅱ）若將條件中的“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，則結(jié)論AE=EF還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點(diǎn)H，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF；
（2）成立，在AB上取BH=BE，連接EH，根據(jù)已知及正方形的性質(zhì)利用ASA判定△AHE≌△ECF，從而得到AE=EF．

解答：（1）證明：取AB的中點(diǎn)H，連接EH；
∵四邊形ABCD是正方形，
AE⊥EF；
∴∠1+∠AEB=90°，
∠2+∠AEB=90°
∴∠1=∠2，
∵BH=BE，∠BHE=45°，
且∠FCG=45°，
∴∠AHE=∠ECF=135°，AH=CE，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF；

（2）解：成立．
證明：在AB上取BH=BE，連接EH，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=BC，
∵BE=BH，
∴AH=EC，
∵∠1=∠2，∠AHE=∠ECF=135°，
∴△AHE≌△ECF，
∴AE=EF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)正方形的性質(zhì)及全等三角形判定的理解及運(yùn)用，難度適中．