Question

【題目】如圖，AB是⊙O直徑，D為⊙O上一點，AT 平分∠BAD交⊙O于點 T，過 T 作AD的垂線交 A D的延長線于點 C。

（1）求證：CT為⊙O的切線；

（2）若⊙O半徑為2，CT＝，求AD的長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）2

【解析】

試題分析：（1）連接OT，根據角平分線的性質，以及直角三角形的兩個銳角互余，證得CT⊥OT，CT為⊙O的切線；

（2）證明四邊形OTCE為矩形，求得OE的長，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．

試題解析：（1）連接OT

∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA

又∵AT 平分∠BAD，∴∠DAT＝∠OAT

∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC

又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT

∴CT為⊙O的切線

（2）過O作OE⊥AD于E，則 E為AD中點

又∵CT⊥AC，∴OE∥CT

∴四邊形 OTCE 為矩形

∵CT＝，∴OE＝

又∵OA＝2

∴在 Rt△OAE 中，AE=

∴AD＝2AE＝2