Question

【題目】如圖1，在中，，．如圖2，將向上翻折，使點(diǎn)落在上，記為點(diǎn)，折痕為．過(guò)點(diǎn)作平行線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．

（1）證明：四邊形是菱形．

（2）若，求的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）2

【解析】

（1）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AC=2AB，利用翻折的性質(zhì)得到AE=AB，DE⊥AC，再證明△AEF△CED，EF=DE，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形即可證得結(jié)論；

（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)，即可求得DE的長(zhǎng)，從而求得DF的長(zhǎng)度．

（1）在中，，．

∴AC=2AB，

由折疊的性質(zhì)得：∠AED=∠B=90°，AE=AB，
∴AC⊥DF，
∵AC=2AB，
∴CE=AB=AE，

∵AF∥CD，

∴∠FAE=∠DCE，
在△AEF和△CED中，

，

∴△AEF△CED，

∴EF= ED，

又∵CE =AE，AC⊥DF，

∴四邊形是菱形；

（2）由（1）得：AC=2AB=2 AE，

∴AE=3，

由折疊的性質(zhì)得：∠EAD=∠BAD=(90°-∠ACB)= 30°，

∵，即，

∴DE=，

∴DF= 2DE=2．