Question

【題目】如圖，已知tan∠EOF=2，點C在射線OF上，OC=12．點M是∠EOF內一點，MC⊥OF于點C，MC=4．在射線CF上取一點A，連結AM并延長交射線OE于點B，作BD⊥OF于點D．

（1）當AC的長度為多少時，△AMC和△BOD相似；
（2）當點M恰好是線段AB中點時，試判斷△AOB的形狀，并說明理由；
（3）連結BC．當S△AMC=S△BOC時，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，

∴△AMC和△BOD中，C與D是對應點，

∴△AMC和△BOD相似時分兩種情況：

①當△AMC∽△BOD時， =tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴ =2，

解得AC=8；

②當△AMC∽△OBD時， =tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴ =2，

解得AC=2．

故當AC的長度為2或8時，△AMC和△BOD相似

（2）解：△ABO為直角三角形．理由如下：

∵MC∥BD，

∴△AMC∽△ABD，

∴ ，∠AMC=∠ABD，

∵M為AB中點，

∴C為AD中點，BD=2MC=8．

∵tan∠EOF=2，

∴OD=4，

∴CD=OC﹣OD=8，

∴AC=CD=8．

在△AMC與△BOD中，

，

∴△AMC≌△BOD（SAS），

∴∠CAM=∠DBO，

∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，

∴△ABO為直角三角形

（3）解：連結BC，

設OD=a，則BD=2a．

∵S△AMC=S△BOC，S△AMC= AC MC=2AC，S△BOC= OC BD=12a，

∴2AC=12a，

∴AC=6a．

∵△AMC∽△ABD，

∴ ，即 ，

解得a1=3，a2=﹣ （舍去），

∴AC=6×3=18．

【解析】（1）△AMC和△BOD相似時分兩種情況：△AMC∽△BOD和△AMC∽△OBD，再由相似三角形的對應邊成比例求出AC的長；
（2）易證△AMC∽△ABD，根據相似三角形的性質和三角形的中位線性質可求出OD=4，CD=8，AC=CD=8，從而得出△AMC≌△BOD，則∠CAM=∠DBO，再由∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM可求出∠ABO的度數，進而得出△ABO的形狀；
（3）設OD=a，則BD=2a．利用三角形的面積可得AC=6a，再由△AMC∽△ABD，根據相似三角形的對應邊成比例可求出a的值，進而得出AC的長.