Question

【題目】拋物線與直線相交于A、B 兩點．

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）若，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1) y1=x2-2x-3；(2)-12.

【解析】試題分析：

(1) 利用點B的坐標可以求得直線解析式中m的值，從而確定直線的解析式. 利用直線的解析式可以求得點A的坐標. 將點A與點B的坐標代入拋物線解析式得到關于b和c的二元一次方程組，解這個方程組即可求得b和c的值，進而求得拋物線的解析式.

(2) 利用第(1)小題中求得的直線和拋物線的解析式，可以將y2-y1的值表示為x的二次函數. 通過對該二次函數增減性的分析可知，y2-y1只可能在當x=-4或x=1時取得最小值. 通過比較這兩個條件下的函數值即可求得y2-y1的最小值.

試題解析：

(1) 由題意知，直線y2=-2x+m經過點B(2, -3)，將點B的坐標代入直線的解析式，得

，

∴m=1，

∴直線的解析式為y2=-2x+1.

由題意知，上述直線經過點A(-2, n)，將點A的坐標代入直線的解析式，得

，

∴n=5，

∴點A的坐標為(-2, 5).

由題意知，拋物線y1=x2+bx+c經過點A和點B，將點A與點B的坐標代入拋物線解析式，得

,即，

解之，得

，

∴拋物線的解析式為y1=x2-2x-3.

(2) ∵拋物線y1=x2-2x-3，直線y2=-2x+1，

∴y2-y1=(-2x+1)-(x2-2x-3)=-x2+4.

由此可知，y2-y1的值是x的二次函數.

∵該二次函數圖象的對稱軸為y軸且拋物線開口向下，

∴當x<0時，y2-y1的值隨x的增大而增大；當x>0時，y2-y1的值隨x的增大而減小，

∵，

∴y2-y1只可能在當x=-4或x=1時取得最小值.

∵當x=-4時，y2-y1=-(-4)2+4=-12，

當x=1時，y2-y1=-12+4=3，

∴當x=-4時，y2-y1取最小值，最小值為-12.