Question

【題目】如圖，是一塊含30°（即∠CAB＝30°）角的三角板和一個量角器拼在一起，三角板斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN恰好重合，其量角器最外緣的讀數是從N點開始（即N點的讀數為0°），現有射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉到CB位置，在旋轉過程中，射線CP與量角器的半圓弧交于E．

（1）當旋轉7.5秒時，連接BE，試說明：BE＝CE；

（2）填空：①當射線CP經過△ABC的外心時，點E處的讀數是　 　．

②當射線CP經過△ABC的內心時，點E處的讀數是　 　；

③設旋轉x秒后，E點出的讀數為y度，則y與x的函數式是y＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①120°；②90°；③y＝180﹣4x

【解析】

（1）由于是每次都旋轉2°且CP的旋轉決定著∠ACE和∠ABE，且二者都是從0°開始的，所以：∠ACE＝∠ABE，只要證明：∠CBE＝∠BCE即可證明BE＝CE；

（2）①當射線CP經過△ABC的外心時，CP經過AB的中心且此時有：CO＝AO，可以得出∠OCA＝∠CAB＝30°，即可求出點E處的度數；

②當射線CP經過△ABC的內心時，內心到三邊的距離相等，即CP為∠ACB的角平分線，所以有∠ABE＝∠ACE＝45°，即可求出點E處的度數；

③由于每次旋轉的度數一樣，所以旋轉x秒后，∠BCE的度數為90°﹣2x，從而得出∠BOE的度數，也即可得出y與x的函數式．

（1）證明：連接BE，如圖所示：

∵射線CP繞點C從CA的位置開始按順時針方向以每秒2度的速度旋轉

∴當旋轉7.5秒時，∠ACE＝7.5×2°＝∠ABE＝15°

又∵∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，∠ACB＝90°

∴∠CBE＝75°，∠BCE＝90°﹣15°＝75°，

即：∠CBE＝∠BCE＝75°

∴BE＝CE．

（2）解：①當射線CP經過△ABC的外心時，CP經過AB的中點且此時有：CO＝AO；

∴∠OCA＝∠CAB＝30°，∠AOE＝60°

∴點E處的讀數是120°．

②當射線CP經過△ABC的內心時，即CP為∠ACB的角平分線，

圓周角∠BCE＝＝45°，圓心角為90°，

∴點E處的讀數是90°．

③旋轉x秒后，∠BCE的度數為90﹣2x，∠BOE的度數為180°﹣4x，

故可得y與x的函數式為：y＝180°﹣4x．