Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交AD于點E、F，連接BD、DP，BD與CF相較于點H，給出下列結論：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2=PH·PC；④若AB=2，則S△BPD=；其中正確的是（ ）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由等邊三角形的性質和正方形的性質，得到∠ABE=∠DCF=30°，即可判斷①；利用角的和差關系，根據兩角對應相等，得到△DFP∽△BPH，可以判斷②；由相似三角形的性質，得到，即可判斷③；先得到PM和PN的長度，由面積的割補法，即可求出面積，可對④進行判斷；即可得到答案.

解：∵△BPC是等邊三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴BE=2AE；故①正確；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=75°，

∴∠FDP=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=15°，

∴∠FDP=∠PBD，

∵∠DFP=∠BPC=60°，

∴△DFP∽△BPH；故②正確；

∵∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，

∴△DPH∽△CPD，

∴，

∴DP2=PHPC，故③正確；

如圖，過P作PM⊥CD，PN⊥BC，

∵正方形的邊長AB=2，△BPC為正三角形，

∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=2，

∴∠PCD=30°，

∴PN=PBsin60°=2×=，PM=PCsin30°=1，

∵S△BPD=S四邊形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD

∴；故④正確；

∴正確的結論有：①②③④；

故選：A.