Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AD、BD分別平分∠CAG、∠EBA，AD∥BC，BD交AC于F，連接CD，

（1）求證：AB=AC．

（2）當∠EBA的大小滿足什么條件時，以A，B，F為頂點三角形為等腰三角形？

（3）猜想∠BDC與∠DAC之間的數量關系式，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠EBA=72°或時，△ABF為等腰三角形；（3）∠BDC+∠DAC=90°.

【解析】

（1）根據平行線的性質可得∠GAD=∠ABC，∠ACB=∠CAD，即∠ABC=∠ACB，則AB=AC；

（2）分①AB與AF不可能相等；②當AF=BF時，③AB=BF時，三種情況討論，根據三角形的內角和定理進行求解即可；

（3）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，根據三角形的外角等于其不相鄰的兩個內角和，可得∠BDC=∠DCH﹣∠DBH=∠ACH﹣∠ABH=（∠ACH﹣∠ABH）=∠BAC，因為∠DAC=×（180°﹣∠A）=90°﹣∠BAC，所以∠BDC+∠DAC=90°.

（1）證明：∵AD平分∠CAG，

∴∠GAD=∠CAD，

∵AD∥BC，

∴∠GAD=∠ABC，∠ACB=∠CAD，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（2））①AB與AF不可能相等；

②當AF=BF時，∠BAF=∠ABF=∠ABC，

∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABC=180°，

∴∠ABC=72°；

③AB=BF時，設∠ABF=∠FBC=x，

則∠ABC=∠ACB=2x，

∴∠BAF=∠BFA=3x，

∴2x+2x+3x=180°，

∴x=，

∴∠EBA=2x=，

綜上所述，當∠EBA=72°或時，△ABF為等腰三角形；

（3）∠BDC+∠DAC=90°，

理由如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，

∵AD、BD分別平分∠GAC、∠EBA，DM⊥BG，DN⊥AC，DH⊥BE，

∴DM=DN，DM=DH，

∴DH=DN，

又∵DN⊥AC，DH⊥BE，

∴CD平分∠ADH，即∠DCH=∠ACH，

∴∠BDC=∠DCH﹣∠DBH=∠ACH﹣∠ABH=（∠ACH﹣∠ABH）=∠BAC，

∵∠DAC=×（180°﹣∠A）=90°﹣∠BAC，

∴∠BDC+∠DAC=90°．