Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+1經過點A（4，﹣3），頂點為點B，點P為拋物線上的一個動點，l是過點（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO．
（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點B的坐標；
（2）①當P點運動到A點處時，計算：PO= ， PH= ， 由此發現，POPH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②當P點在拋物線上運動時，猜想PO與PH有什么數量關系，并證明你的猜想；
（3）如圖2，設點C（1，﹣2），問是否存在點P，使得以P，O，H為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+1經過點A（4，﹣3），

∴﹣3=16a+1，

∴a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+1，頂點B（0，1）．

（2）①5；5；=；②結論：PO=PH．
理由：設點P坐標（m，﹣ m2+1），
∵PH=2﹣（﹣ m2+1）= m2+1
PO= = m2+1，
∴PO=PH
（3）

解：∵BC= = ，AC= = ，AB= =4

∴BC=AC，

∵PO=PH，

又∵以P，O，H為頂點的三角形與△ABC相似，

∴PH與BC，PO與AC是對應邊，

∴ ，設點P（m，﹣ m2+1），

∴ ，

解得m=±1，

∴點P坐標（1， ）或（﹣1， ）．

【解析】（2）①當P點運動到A點處時，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分別為5，5，=．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．