Question

【題目】探究

問題1 已知：如圖1，三角形ABC中，點D是AB邊的中點，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分別為點E，F，AE，BF交于點M，連接DE，DF．若DE=kDF，則k的值為　 　．

拓展

問題2 已知：如圖2，三角形ABC中，CB=CA，點D是AB邊的中點，點M在三角形ABC的內部，且∠MAC=∠MBC，過點M分別作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分別為點E，F，連接DE，DF．求證：DE=DF．

推廣

問題3 如圖3，若將上面問題2中的條件“CB=CA”變為“CB≠CA”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）DE=DF，理由見解析.

【解析】

（1）利用直角三角形的性質“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”得到DE=DF；

（2）利用等腰三角形的性質和判定得出結論，從而判定△MEB≌△MFA（AAS），得到DE=DF．

（3）利用三角形的中位線和直角三角形的性質根據SAS證明△DHE≌△FGD可得．

（1）∵AE⊥BC，BF⊥AC

∴△AEB和△AFB都是直角三角形

∵D是AB的中點

∴DE和DF分別為Rt△AEB和Rt△AFB的斜邊中線

∴DE=AB，DF=AB（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半）

∴DE=DF

∵DE=kDF

∴k=1

（2）∵CB=CA

∴∠CBA=∠CAB

∵∠MAC=∠MB

∴∠CBA﹣∠MBC=∠CAB﹣∠MAC

即∠ABM=∠BAM

∴AM=BM

∵ME⊥BC，MF⊥AC

∴∠MEB=∠MFA=90

又∵∠MBE=∠MAF

∴△MEB≌△MFA（AAS）

∴BE=AF

∵D是AB的中點，即BD=AD

又∵∠DBE=∠DAF

∴△DBE≌△DAF（SAS）

∴DE=DF

（3）DE=DF

如圖1，作AM的中點G，BM的中點H，

∵點 D是 邊 AB的 中點

∴DG∥BM，DG=BM

同理可得：DH∥AM，DH=AM

∵ME⊥BC于E，H 是BM的中點

∴在Rt△BEM中，HE=BM=BH

∴∠HBE=∠HEB

∠MHE=∠HBE+∠HEB=2∠MBC

又∵DG=BM，HE=BM

∴DG=HE

同理可得：DH=FG，∠MGF=2∠MAC

∵DG∥BM，DH∥GM

∴四邊形DHMG是平行四邊形

∴∠DGM=∠DHM

∵∠MGF=2∠MAC，∠MHE=2∠MBC

又∵∠MBC=∠MAC

∴∠MGF=∠MHE

∴∠DGM+∠MGF=∠DHM+∠MHE

∴∠DGF=∠DHE

在△DHE與△FGD中

，

∴△DHE≌△FGD（SAS），

∴DE=DF