Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，點P，Q在直線BC上，且AP∥DQ，過點Q作QO⊥BD，垂足為點O，連接OA，OP．

（1）如圖，點P在線段BC上，
①求證：四邊形APQD是平行四邊形；
②判斷OA，OP之間的數量關系和位置關系，并加以證明；
（2）若正方形ABCD的邊長為2，直接寫出BP=1時，△OBP的面積．

Answer 1

【答案】
（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，

∵AP∥DQ，

∴四邊形APQD為平行四邊形；

②解：結論：OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，

∵OQ⊥BD，

∴∠PQO=45°，

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，

∴OB=OQ，

在△AOB和△OPQ中，

，

∴△AOB≌△POQ（SAS），

∴OA=OP，∠AOB=∠POQ，

∴∠AOP=∠BOQ=90°，

∴OA⊥OP

（2）解：如圖，過O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當P點在B點右側時，

則BQ=1+2=3，OE= BQ= ，

∴S△OPB= ×1× =

②如圖2，當P點在B點左側時，

則BQ=2﹣1=1，OE= BQ= ，

∴S△PBO= ×1× = ，

綜上所述，△POB的面積為 或 ．

【解析】①由四邊形ABCD是正方形，得到AD∥BC，已知AP∥DQ，得到四邊形APQD為平行四邊形；由正方形的性質得AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，已知OQ⊥BD，得到∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，得到OB=OQ，得到△AOB≌△POQ（SAS），得到OA=OP，∠AOB=∠POQ=90°，即OA⊥OP；②當P點在B點右側時，則BQ=1+2=3，OE= BQ2= 3 2 ，求出△OPB的面積；當P點在B點左側時，則BQ=2﹣1=1，OE=BQ2= 1 2，求出△OPB的面積.
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．