Question

【題目】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=6cm，BC=12cm，點E由點A出發沿AB方向向點B勻速移動，速度為1cm/s，點F由點B出發沿BC方向向點C勻速移動，速度為2cm/s，如果動點E、F同時從A、B兩點出發，連接EF，若設運動時間為ts，解答下列問題．

（1）當t為 時，△BEF為等腰直角三角形；

（2）當t為 時，△DFC為等腰直角三角形；

（3）是否存在某一時刻，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2s；（2）3s；（3）當t=1.5時，△EFB∽△FDC．

【解析】

試題分析：（1）由已知條件易證四邊形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=90°，若△BEF為等腰直角三角形，則BE=BF，進而可求出t的值；

（2）由（1）可知∠C=90°，若△DFC為等腰直角三角形，則CF=DC，進而可求出t的值；

（3）若△EFB∽△FDC，則BE：CF=BF：DC，結合題目的已知條件可得到關于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值．

解：

（1）∵在平行四邊形ABCD中，∠A=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠C=90°，

∴若△BEF為等腰直角三角形，則BE=BF，

∵點E由點A出發沿AB方向向點B勻速移動，速度為1cm/s，點F由點B出發沿BC方向向點C勻速移動，速度為2cm/s，AB=6cm，BC=12cm，

∴BE=（6﹣t）cm，BF=2t，

∴6﹣t=2t，

∴t=2s，

故答案為2s；

（2）由（1）可知若△DFC為等腰直角三角形，則CF=DC，

∵CF=2tcm，DC=6cm，

∴2t=6，

∴t=3s，

故答案為3s；

（3）存在某一時刻，使△EFB∽△FDC，

∵△EFB∽△FDC，

∴BE：CF=BF：DC，

∴，

整理得：2t2﹣15t+18=0，

即（2t﹣3）（t﹣6）=0，

解得：t=1.5或t=6（舍），

∴當t=1.5時，△EFB∽△FDC．