Question

【題目】綜合與實踐

數學活動課上，小紅畫了如圖1所示的兩個共用直角頂點的等腰直角三角形與等腰直角三角形，其中，，連接，、、分別為邊、、的中點，連接、.

操作發現：

小紅發現了：、有一定的關系，數量關系為_____________________________；位置關系為_________________.

類比思考：

如圖2，在圖1的基礎上，將等腰直角三角形繞點旋轉一定的角度，其它條件都不變，小紅發現的結論還成立嗎？請說明理由.（提示：連接、并延長交于一點）

深入探究：

在上述類比思考的基礎上，小紅做了進一步的探究.如圖3，作任意一個三角形，其中，在三角形外側以為腰作等腰直角三角形，以為腰作等腰直角三角形，分別取斜邊、與邊的中點、、，連接、、，試判斷三角形的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】操作發現：MG=NG，MG⊥NG；類比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由見解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由見解析．

【解析】

操作發現：利用SAS判斷出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，進而判斷出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位線定理即可得出結論；

類比思考：同操作發現的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結論；

深入探究：同操作發現的方法即可得出結論．

解：操作發現：如圖1，連接BE，CD相交于H，
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠BHD=90°，
∴CD⊥BE，
∵點M，G分別是BD，BC的中點，
∴MG∥CD，MG= CD，

同理：NG∥BE，NG=BE，
∴MG=NG，MG⊥NG，
故答案為：MG=NG，MG⊥NG；

類比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，

理由：如圖2，連接、并延長交于一點

同操作發現的方法得，MG=NG，
同操作發現的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEF+∠ECF=∠AEF-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°，
∴∠DFE=90°，
同操作發現的方法得，MG⊥NG，
∴MG=NG，MG⊥NG；

深入探究：△MGN是等腰直角三角形，

理由：如圖3，連接CD，BE相交于點H，
同操作發現的方法得，MG=NG，MG⊥NG，

∴△MGN是等腰直角三角形．

故答案為：操作發現：MG=NG，MG⊥NG；類比思考：MG=NG，MG⊥NG成立，理由見解析；深入探究：△MGN是等腰直角三角形，理由見解析．