Question

【題目】如圖，AD為∠CAF的角平分線，BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠DCA=∠ABD，過D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延長線于F，則下列結論：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正確的結論有（ ）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得CE=AF，利用“HL”證明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根據全等三角形對應角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A、B、C、D四點共圓，根據同弧所對的圓周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根據全等三角形對應角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD．

解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，

∴DE=DF，

在Rt△CDE和Rt△BDF中，

∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正確；

∴CE=AF，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

,

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），

∴AE=AF，

∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正確；

∵Rt△CDE≌Rt△BDF，

∴∠DBF=∠DCE

∴A、B、C、D四點共圓，

∴∠BDC=∠BAC，故③正確；

∠DAE=∠CBD，

∵Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴∠DAE=∠DAF，

∴∠DAF=∠CBD，故④正確；

綜上所述，正確的結論有①②③④共4個．

故選：A．