Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，M，N分別是邊AB，BC的中點，MP⊥AB交邊CD于點P，連接NM，NP．

（1）若∠B=60°，這時點P與點C重合，則∠NMP=度；
（2）求證：NM=NP；
（3）當△NPC為等腰三角形時，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】
（1）30
（2）

證明：

如圖1，延長MN交DC的延長線于點E，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥DC，

∴∠BMN=∠E，

∵點N是線段BC的中點，∴BN=CN，

在△MNB和△ENC中，

，

∴△MNB≌△ENC，

∴MN=EN，

即點N是線段ME的中點，

∵MP⊥AB交邊CD于點P，

∴MP⊥DE，

∴∠MPE=90°，

∴PN=MN= ME

（3）

如圖2

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

又∵M，N分別是邊AB，BC的中點，

∴MB=NB，

∴∠BMN=∠BNM，

由（2）知：△MNB≌△ENC，

∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，

又∵PN=MN=NE，

∴∠NPE=∠E，

設∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE=∠NPE=x°，

則∠NCP=2x°，∠NPC=x°，

①若PN=PC，則∠PNC=∠NCP=2x°，

在△PNC中，2x+2x+x=180，

解得：x=36，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=2x°+x°=36°×3=108°，

②若PC=NC，則∠PNC=∠NPC=x°，

在△PNC中，2x+x+x=180，

解得：x=45，

∴∠B=∠PNC+∠NPC=x°+x°=45°+45°=90°．

③NP=NC時，不可能．

故∠B為108°或90°．

【解析】解：（1）∵MP⊥AB交邊CD于點P，∠B=60°，點P與點C重合，
∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中點，∴MN=PN，
∴∠NMP=∠NPM=30°；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解菱形的性質的相關知識，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．