Question

【題目】等邊△ABC中，點P由點A出發沿CA方向運動，同時點Q以相同的速度從點B出發沿BC方向運動，當點Q到達C點時，P，Q兩點都停止運動，連接PQ，交AB于點M．

（1）如圖①，當PQ⊥BC時，求證：AP＝AM．

（2）如圖②，試說明：在點P和點Q運動的過程中，PM＝QM．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）過A作AD⊥BC于D，由等邊三角形的性質得出∠BAD=∠CAD，證出PQ∥AD，由平行線的性質得出∠P=∠DAC，∠AMP=∠BAD，得出∠P=∠AMP，即可得出結論；
（2）過Q作QE∥AC交AB于E，證出△BQE是等邊三角形，得出BQ=EQ，證出EQ=AP，證明△PMA≌△QME（AAS），即可得出PM=QM．

（1）證明：過A作AD⊥BC于D，如圖①所示：

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，

∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，

∵AD⊥BC，PQ⊥BC，

∴PQ∥AD，

∴∠P＝∠DAC，∠AMP＝∠BAD，

∴∠P＝∠AMP，

∴AP＝AM；

（2）證明：過Q作QE∥AC交AB于E，如圖②所示：

則∠BEQ＝∠BAC，∠BQE＝∠C，∠P＝∠EQM，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠BAC＝∠C＝60°，

∴∠B＝∠BEQ＝∠BQE，

∴△BQE是等邊三角形，

∴BQ＝EQ，

∵AP＝BQ，

∴EQ＝AP，

在△PMA和△QME中，，

∴△PMA≌△QME（AAS），

∴PM＝QM．