Question

【題目】如圖，圖1、圖2、圖3、…圖n分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正四邊形ABCD,正五邊形ABCDE,、…、正n邊形ABCD…，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B,C開(kāi)始以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng).

（1）求圖1中∠APN的度數(shù)；

（2）求圖2中，∠APN的度數(shù)，求圖3中∠BPN的度數(shù)；

（3）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫(xiě)答案）.

Answer 1

【答案】（1）∠APN=60°；（2）90°；108°；（3）.

【解析】

（1）由△ABC為等邊三角形可知∠ABC=60°，再由等速運(yùn)動(dòng)可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性質(zhì)可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代換可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度數(shù)；

（2）和（1）同理可得到∠APN的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)相等，圖③中∠APN的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)相等；

（3）結(jié)合（1）（2）可得到∠APN的度數(shù)等于多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，可得到結(jié)論．

（1）圖1:∵點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B. C開(kāi)始以相同的速度在O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，

∴劣弧BM=劣弧CN

∴∠BAM=∠CBN，

∵∠APN=∠BPM，

∴∠APN=∠ABN+∠BAM=∠ABN+∠CBN=∠ABC=60°；

（2）同理：圖2中，∠APN=∠ABC=90°；圖3中，∠APN=∠ABC=108°；

（3）由（1）、（2）可知，

60°=，90°=，108°=，

∴∠APN=它所在的正多邊形的內(nèi)角度數(shù)，

∴在圖n中，∠APN=.