Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

求拋物線的解析式；

若點(diǎn)在軸上方的拋物線上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

若點(diǎn)’是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)’落在軸上時(shí)，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或存在滿足條件的的值為或或或．

【解析】

（1）將拋物線與的軸交點(diǎn)、代入解析式，即可得出結(jié)論.（2）由題可知，P，E，F三點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為m，用含m的代數(shù)式分別表示PE、EF，根據(jù)列出方程即可得出結(jié)論.（3）根據(jù)’是點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)證明為菱形，根據(jù)PE=CE，用含m的代數(shù)式列方程求解；當(dāng)P點(diǎn)位于y軸上時(shí)，四邊形不存在，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可得到m的值.

解：∵拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為．

∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

∴，，．

∴，

．

由題意，，即：

①若，整理得：，

解得：或；

②若，整理得：，

解得：或．

由題意，的取值范圍為：，故、這兩個(gè)解均舍去．

∴或．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

假設(shè)存在．

作出示意圖如下：

∵點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，

∴，，．

∵平行于軸，∴，

∴，∴，

∴，即四邊形是菱形．

當(dāng)四邊形是菱形存在時(shí)，

由直線解析式，可得，，由勾股定理得．

過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，易得，

∴，即，解得，

∴，又由可知：

∴．

①若，整理得：，解得或；

②若，整理得：，解得，．

由題意，的取值范圍為：，故這個(gè)解舍去．

當(dāng)四邊形是菱形這一條件不存在時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，，三點(diǎn)重合與軸上，也符合題意，

∴

綜上所述，存在滿足條件的的值為或或或．