Question

【題目】一倉庫為了保持庫內的濕度和溫度，四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設施，該設施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=米，上部△CDG是等邊三角形，固定點E為AB的中點。△EMN是由電腦控制其變化的三角通風窗（陰影部分均不通風），MN（MN可與CD重合）是可以沿設施邊框上下滑動且始終保持與AB平行的伸縮橫桿。（當MN在DC上方時，MD的長度是MN到DC距離的倍）

（1）當MN和AB之間的距離為0.5米時，求此時 △EMN的面積；

（2）設MN與AB之間的距離為x米，求△EMN的面積S（平方米）與x的函數關系式；

（3）探究△EMN的面積S（平方米）有無最大值，若有，求出這個最大值；若無，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）0.5平方米；（2）；（3）S有最大值，最大值為平方米

【解析】

（1）根據題意得出當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN應位于DC下方，且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米,可得出三角形EMN的面積．
（2）分兩種情況解答（0＜x≤；＜x＜2）．①當0＜x≤時，可直接得出三角形的面積函數；②當＜x＜時，連接EG，交CD于點F，交MN于點H，先求FG，再證△MNG∽△DCG，繼而得出△EMN面積與x的函數；
（3）分兩種情況解答：①當0＜x≤時， S=x，由一次函數性質可得S的最大值；②當＜x＜2時，由二次函數性質可知，在對稱軸時取得最大值，比較大小即可得出結論．

解：（1）由題意，當MN和AB之間的距離為0.5米時，MN應位于DC下方如圖1

此時△EMN中MN邊上的高為0.5米．
在ABCD是矩形中，AB=CD=MN=2米，BC=AD=米，

∴S△EMN=×2×0.5=0.5（平方米）．
即△EMN的面積為0.5平方米．

（2）①如圖1所示，當MN在矩形區域滑動，即0＜x≤時，
△EMN的面積S=×2×x=x；
②如圖2所示，當MN在三角形區域滑動，即＜x＜時，

連接EG，交CD于點F，交MN于點H，
∵E為AB中點，
∴F為CD中點，GF⊥CD，且FG=．

∴EG=

，

∴MN＝4-

∴△EMN的面積S=

∴

（3）①當0＜x≤時， S=x，

∴0＜S≤；

∴S的最大值=

②當＜x＜時，

S=

當時，S有最大值，且最大值為：

∴綜上所述：S有最大值，最大值為平方米．