Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD，∠BAD的平分線交BC于E，連接DE．

（1）說明點D在△ABE的外接圓上；

（2）若∠AED=∠CED，試判斷直線CD與△ABE外接圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）根據題中條件可證明△AOB≌△AOD，得到OD=OB，可證點D在△ABE的外接圓上；

（2）根據∠C=90°，可得∠CED+∠CDE=90°；利用∠ODE=∠DEC，可知∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，即CD與△ABE的外接圓相切．

試題解析：證明：（1）∵∠B=90°，∴AE是△ABE外接圓的直徑．

取AE的中點O，則O為圓心，連接OB、OD．

在△AOB和△AOD中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAO，AO=AO，∴△AOB≌△AOD．∴OD=OB，∴點D在△ABE的外接圓上．

（2）直線CD與△ABE的外接圓相切．

理由：∵AB∥CD，∠B=90°．∴∠C=90°，∴∠CED+∠CDE=90°．

又∵OE=OD，∴∠ODE=∠OED．

又∠AED=∠CED，∴∠ODE=∠DEC，∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，∴CD與△ABE的外接圓相切．