Question

【題目】如圖，已知A、B是⊙O上兩點，△OAB外角的平分線交⊙O于另一點C，CD⊥AB交AB的延長線于D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）E為的中點，F為⊙O上一點，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OC，先證明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到結論；

（2）解：連接OE交AB于H，如圖，利用垂徑定理得到OE⊥AB，再利用圓周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可設EH=3x，BH=4x，則BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接著在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下來設⊙O的半徑為r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r-9）2+122=r2，最后解關于r的方程即可．

（1）證明：連接OC，如圖，

∵BC平分∠OBD，

∴∠OBD=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠CBD，

∴OC∥AD，

而CD⊥AB，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連接OE交AB于H，如圖，

∵E為的中點，

∴OE⊥AB，

∵∠ABE=∠AFE，

∴tan∠ABE=tan∠AFE=，

∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=

設EH=3x，BH=4x，

∴BE=5x，

∵BG=BE=5x，

∴GH=x，

在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，

∴EH=9，BH=12，

設⊙O的半徑為r，則OH=r-9，

在Rt△OHB中，（r-9）2+122=r2，解得r=，

即⊙O的半徑為．