Question

【題目】如圖是一個二次函數的圖象，頂點是原點O，且過點A（2，1），

（1）求出二次函數的表達式；

（2）我們把橫、縱坐標都為整數的點稱為整點，請用整數n表示這條拋物線上所有的整點坐標．

（3）過y軸的正半軸上一點C（0，a）作AO的平行線交拋物線于點B，

①求出直線BC的函數表達式（用a表示）；

②如果點B是整點，求證：△OAB的面積是偶數．

Answer 1

【答案】（1）y=x2；（2）拋物線上整點坐標可表示為（2n，n2），其中n為整數；（3）①y=x+a；②詳見解析.

【解析】

（1）可設拋物線的解析式為y=ax2，然后只需把點A的坐標代入拋物線的解析式，就可解決問題；

（2）由拋物線的解析式可知，要使y是整數，只需x是偶數，故x可用2n表示（n為整數），由此就可解決問題；

（3）①可運用待定系數法求出直線OA的解析式，然后根據兩直線平行一次項的系數相同，就可得到直線BC的函數表達式；②由于點B是整點，點B的坐標可表示為（2n，n2），代入直線BC的解析式，即可得到a的值（用n表示），然后根據平行等積法可得S△OAB=S△OAC=n（n-1），由于n與n-1是相鄰整數，必然一奇一偶，因而n（n-1）是偶數，問題得以解決．

（1）設拋物線的解析式為y=ax2，

把A（2，1）代入y=ax2，得1=4a，

解得a=，

∴二次函數的表達式為y=x2；

（2）拋物線上整點坐標可表示為（2n，n2），其中n為整數；

（3）①設直線OA的解析式為y=kx，

把點A（2，1）代入y=kx，得1=2k，

解得k=，

∴直線OA的解析式為y=x，

則過點C（0，a）與直線OA平行的直線的解析式為y=x+a；

②證明：∵點B是整點，

∴點B的坐標可表示為（2n，n2），其中n為整數，

把B（2n，n2）代入y=x+c，得n2=n+c，

∴c=n2﹣n=n（n﹣1）．

∵BC∥OA，

∴S△OAB=S△OAC=×c×2=c=n（n﹣1）．

∵n為整數，

∴n與n﹣1一奇一偶，

∴n（n﹣1）是偶數，

∴△OAB的面積是偶數．