Question

【題目】中點、平行線、等腰直角三角形、等邊三角形都是常見的幾何圖形！

（1）如圖1，若點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°，連接AD、EF，當BC=5，FC=2時，求EF的長度；

（2）如圖2，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°；M為EF的中點，連接CM，當DF∥AB時，證明：3ED=2MC；

（3）如圖3，若點D為等邊三角形ABC邊BC的中點，點E、F分別在AB、AC邊上，且∠EDF=90°；當BE=6，CF=0.8時，直接寫出EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質，證得△ADE≌△CDF，根據全等三角形對應邊相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根據勾股定理求得EF的長；

（2）先設等邊三角形邊長為2，在Rt△BDE中求得DE的長，再根據CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的長，最后根據CM與DE的長度之比求得3ED=2MC；

（3）先延長FD至G，使得FD=FG，連接EG，BG，過E作EH⊥BG于點H，根據△BDG≌△CDF得到BG=CF=0.8，進而在Rt△BEH中求得HE，在Rt△EHG中求得EG，最后根據ED垂直平分FG，即可得出EF的長度．

試題解析：（1）如圖1∵點D為等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點

∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°，∴AC=CD=5，又∵∠EDF=90°，FC=2

∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3

在△ADE和△CDF中

∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF=2，∴在Rt△AEF中，EF==

（2）設等邊三角形邊長為2，則BD=CD=1，

∵等邊三角形ABC中，DF∥AB

∴∠FDC=∠B=60°

∵∠EDF=90°

∴∠BDE=30°

∴DE⊥BE

∴BE=，DE=

如圖2，連接DM，則Rt△DEF中，DM=EF=FM

∵∠FDC=∠FCD=60°

∴△CDF是等邊三角形

∴CD=CF=1

∴CM垂直平分DF

∴∠DCN=30°

∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1

∴在Rt△DEF中，EF==

∵M為EF的中點

∴FM=DM=

∴Rt△MND中，MN=

∴CM=+=

∴==

∴3ED=2MC

（3）如圖3，延長FD至G，使得FD=DG，連接EG，BG，則ED垂直平分FG，故EF=EG

∴由BD=CD，∠BDG=∠CDF，DF=DG可得：△BDG≌△CDF

∴∠GBD=∠C=60°，BG=CF=0.8

∴∠EBG=60°+60°=120°

∴∠EBH=60°

過E作EH⊥BG于點H，則BH=BE=3

∴Rt△BEH中，HE==

∴Rt△EHG中，EG==

∴EF的長度為