Question

【題目】如圖，點是直線上的一點，將一直角三角板如圖擺放，過點作射線平分.

（1）如圖1，如果，依題意補全圖形，求度數；

（2）當直角三角板繞點順時針旋轉一定的角度得到圖2，使得直角邊在直線的上方，若，其他條件不變，請你直接用含的代數式表示的度數為 ；

（3）當直角三角板繞點繼續順時針旋轉一周，回到圖1的位置，在旋轉過程中你發現與之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的發現： .

Answer 1

【答案】（1）補全圖形見解析；；（2）；（3）；.

【解析】

（1）根據角平分線的作法作出OE平分∠BOC，先根據平角的定義求出∠BOC，再根據角平分線的定義求出∠COE，再根據直角的定義即可求解；
（2）先根據平角的定義求出∠BOC，再根據角平分線的定義求出∠COE，再根據直角的定義即可求解；
（3）分兩種情況：0°≤∠AOC≤180°，0°≤∠DOE≤180°，可求∠AOC與∠DOE之間的數量關系．

（1）補全圖形：

解：因為

所以

因為平分，

所以；

由直角三角板，得；

因為；

所以；

（2）∵由∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=α，
∴∠BOC=180°-α；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=90°-α；
∵直角三角板，
∴∠COD=90°；
∵∠COD=90°，∠COE=90°-α，
∴∠DOE=；

（3）①0°≤∠AOC≤180°時，

∵由∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=180°-∠AOC；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=90°-∠AOC；
∵直角三角板，
∴∠COD=90°；
∵∠COD=90°，∠COE=90°-∠AOC，
∴∠DOE=∠AOC；

②0°≤∠DOE≤180°時，

∵由∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠BOC=180°-∠AOC；
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOC=90°-∠AOC；
∵直角三角板，
∴∠COD=90°；

∴∠DOE=90°+∠COE =180°-∠AOC；

∴∠DOE=∠AOC（0°≤∠AOC≤180°），∠DOE=180°∠AOC（0°≤∠DOE≤180°）．