Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α°．得到△ADE，連接BD，CE交于點F．

（1）求證：△ABD≌△ACE；

（2）用α表示∠ACE的度數(shù)；

（3）若使四邊形ABFE是菱形，求α的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠ACE＝＝90°﹣；（3）120°．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAD＝∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；

（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝90°﹣，求得∠BFE＝150°，若使四邊形ABFE是菱形，只要四邊形ABFE是平行四邊形即可，得到∠BAE＝∠BFE，于是得到結(jié)論．

解：（1）證明：∵ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α°，

∴∠BAC＝∠DAE＝30°，∠BAD＝∠CAE＝α°，

又∵AB＝AC，

∴AB＝AC＝AD＝AE，

在△ABD與△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）解：∵∠CAE＝α°，AC＝AE，

∴∠ACE＝（180°﹣∠CAE）＝（180°﹣α°）＝90°﹣；

（3）解：∵∠BAD＝∠CAE＝α°，AB＝AC＝AD＝AE，

∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝90°﹣，

∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝α°+30°＝（α+30）°，

∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝360°﹣（α+30）°﹣2（90°﹣）＝150°，

∵AB＝AE，

∴若使四邊形ABFE是菱形，

只要四邊形ABFE是平行四邊形即可，

∵∠ABD＝∠AEC，

∴只要∠BAE＝∠BFE，

即（30+α）°＝150°，

解得：α°＝120°，

即當α°＝120°時，四邊形ABFE是菱形．