Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，將三角板中一個30°角的頂點D放在AB邊上移動，使這個30°角的兩邊分別與△ABC的邊AC、BC相交于點E、F，且使DE始終與AB垂直．
（1）畫出符合條件的圖形．連接EF后，寫出與△ABC一定相似的三角形；
（2）設AD=x，CF=y．求y與x之間函數解析式，并寫出函數的定義域；
（3）如果△CEF與△DEF相似，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據題意畫出圖形，根據圖形證出∠C=∠EDA=90°，∠A=∠A，即可推出兩三角形相似；
（2）求出等邊三角形BDF，求出BF=BD=1-y，又因為BD=AB-x=2-x，代入求出即可，根據y=x-1≥0得出x≥1，根據一定與線段AC、BC相交，得出AD最大到M處，求出AM即可得出答案；
（3）分為兩種情況：①E為直角頂點時，求出AE，求出CE=

3

CF=

3

（x-1），根據AE+CE=

3

得出關于x的方程，求出即可；②F為直角頂點時，求出CE=

3

3

CF，推出方程

2 3

3

x+

3

3

（x-1）=

3

，求出x即可．

解答：解：（1）如圖所示：
與△ABC一定相似的三角形是△AED；

（2）在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，
∵DE⊥AB，∠EDF=30°，
∴∠FDB=∠B=60°，
∴△BDF是等邊三角形，
∴BF=BD，
∴CF=1-BF=1-（2-AD）=AD-1，
∴y=x-1，
∵x-1≥0，
∴x≥1，
∵將三角板放在三角形ABC上時，一定與邊AC、BC相交，
∴過C作CM⊥AB于M，最后D只能到M點，
此時BM=

1

2

BC=

1

2

，
∴x此時是2-

1

2

=

3

2

，
∴函數的定義域（即x的取值范圍）是：1≤x≤

3

2

；

（3）在Rt△ADE中，
∵∠ADE=90°，∠A=30°，AD=x，
∴AE=

2 3

3

x，
當△CEF∽△EDF時（如圖1），
∵∠CEF=∠EDF=30°，
∴CE=

3

CF，
∴

2 3

3

x+

3

（x-1）=

3

，
解得：x=

6

5

，
即AD=

6

5

；
當△CEF∽△FED時（如圖2），
∵∠CFE=∠FDE=30°，
∴CE=

3

3

CF，
∴

2 3

3

x+

3

3

（x-1）=

3

，
解得：x=

4

3

，
即AD=

4

3

；
綜上所述：AD=

6

5

或AD=

4

3

．

點評：本題考查的知識點有：含30度角的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性質，一次函數，直角三角形性質，函數的定義域等，主要考查學生的計算能力和推理能力，題目比較好，有一定的難度．