Question

【題目】如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，

(1)求C點的坐標；

(2)如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OPDE的值；

(3)如圖3,已知點F坐標為(2,2),當G在y軸的負半軸上沿負方向運動時,作Rt△FGH,始終保持∠GFH=90,FG與y軸負半軸交于點G(0,m),FH與x軸正半軸交于點H(n,0)，當G點在y軸的負半軸上沿負方向運動時，以下兩個結論：①mn為定值；②m+n為定值，其中只有一個結論是正確的，請找出正確的結論，并求出其值.

Answer 1

【答案】(1)點C的坐標為(6,2)； (2) OPDE= 2； (3)結論②是正確的，m+n=4.

【解析】

（1）過C點作CM⊥x軸于M點，因為AC＝AB，則作CM⊥x軸，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根據已知即可求得C點的值；
（2）求OPDE的值則將其放在同一直線上，過D作DQ⊥OP于Q點，即是求PQ的值，由圖易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的長；
（3）利用（2）的結論，可知m＋n為定長是正確的，過F分別作x軸和y軸的垂線，類似（2），即可求得m＋n的值．

(1)過C作CM⊥x軸于M點，如圖1，

∵CM⊥OA，AC⊥AB，

∴∠MAC+∠OAB=,∠OAB+∠OBA=

則∠MAC=∠OBA

在△MAC和△OBA中

則△MAC≌△OBA(AAS)

則CM=OA=2,MA=OB=4,則點C的坐標為(6,2)；

(2)過D作DQ⊥OP于Q點,如圖2,

則OPDE=PQ,∠APO+∠QPD=，

∠APO+∠OAP=，則∠QPD=∠OAP，

在△AOP和△PDQ中

則△AOP≌△PDQ(AAS)

∴OPDE=PQ=OA=2；

(3)結論②是正確的，m+n=4，

如圖3,過點F分別作FS⊥x軸于S點,FT⊥y軸于T點,

則FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，

在△FSH和△FTG中

則△FSH≌△FTG(AAS)

則GT=HS，

又∵G(0,m),H(n,0),點F坐標為(2,2)，

∴OT═OS=2，OG=|m|=m，OH=n，

∴GT=OGOT=m2，HS=OH+OS=n+2，

則2m=n+2，

則m+n=4.