Question

【題目】在平面直角坐標系中 xOy 中，對于⊙C及⊙C內一點 P，給出如下定義：若存在過點 P 的直線 l，使得它與⊙C 相交所截得的弦長為，則稱點 P 為⊙C的“k-近內點”．

（1）已知⊙O的半徑為 4，

①在點中，⊙O的“4-近內點”是______________；

②點 P 在直線y=x上，若點 P 為⊙O的“4-近內點”，則點 P 的縱坐標y的取值范圍是____________；

（2）⊙C的圓心為（-1，0），半徑為 3，直線x 軸，y 軸分別交于 M，N，若線段 MN 上存在⊙C的 “2 -近內點”，則 b 的取值范圍是____________．

Answer 1

【答案】（1）①P2，P3.； ②或；（2）或

【解析】

通過讀題，理解本題的實質強調兩點：

（1）確定點P在圓內，即點心距小于半徑.

（2）過點P的直線截圓所得的弦長可以取到k.即過圓內一點的直線截圓所得的弦的最小值應小于或等于k，數形結合，由弦長公式及其相關不等式結合來計算求解即可.

解：由于經過圓內一點的直線被圓所截的弦的長度的最大值為直徑，最小值是當直線垂直于經過該點的直徑時弦長最短.只有當最短的弦長不大于k值時，弦長才可能取到k.

（1）①OP1=2，r=4，由弦長公式得 最短弦長為,不滿足， OP2=，r=4，由弦長公式得最短弦長為,滿足，OP3=，r=4，由弦長公式得最短弦長，

滿足，所以⊙O的“4-近內點”是P2，P3.

②依題意：設P點的坐標為,則OP2=，半徑r=4, 由弦長公式得最短弦長且OP2 =< r2=16, 即

解得：或

∵

∴或，

（2）

如圖所示，直線MN，過圓心C作CD⊥MN，若此時弦PS=2,∴PD=，

連接PG，則PG=3，由勾股定理得GD=2，

又∵為等腰直角三角形

∴GM=2,

∴OM=ON=2+1，

由（1）可知當直線MN向上平移到RT位置恰好與圓C相切時，GT=3,

∴OT=OR=3+1，

∴

由對稱性可知

綜上，b的取值范圍為或