Question

【題目】如圖①，△ABC中，AB=AC，點M、N分別是AB、AC上的點，且AM=AN．連接MN、CM、BN，點D、E、F、G分別是BC、MN、BN、CM的中點，連接E、F、D、G．

（l）判斷四邊形EFDG的形狀是　 　（不必證明）；

（2）現將△AMN繞點A旋轉一定的角度，其他條件不變（如圖②），四邊形EFDG的形狀是否發生變化？證明你的結論；

（3）如圖②，在（2）的情況下，請將△ABC在原有的條件下添加一個條件，使四邊形EFDG是正方形．請寫出你添加的條件，并在添加條件的基礎上證明四邊形EFDG是正方形．

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）不變，證明見解析；（3）添加條件：∠BAC=90°，證明見解析.

【解析】

(1) 四邊形EFDG是平行四邊形, 理由為: 如圖1,連接AM,由E、F,G、H分別為中點,利用利用中位線定理得到兩組對邊相等, 即可得證;

(2) 如圖②, 由旋轉得∠BAM=∠CAN, △BAM≌△CAN（SAS）, BM=CN，點E、F分別是MN、BN的中點,可得EF∥DG，EF=DG，可得四邊形EFDG是平行四邊形，可得FD=BM=EF，所以四邊形EFDG是菱形;

(3) 設BM與CN交于點P，DF與BM交于點Q，由∠ABM=∠CAN，∠ABC+∠ACB=90°可得∠BPC=90°，∠BQD=90°，∠FDG=90°，所以菱形EFDG是正方形.

解：（1）四邊形EFDG是菱形，

∵點D、E、F、G分別是BC、MN、BN、CM的中點，

∴EF是△NBM的中位線，DG是△CBM的中位線，EG是△CMN的中位線，DF是△BCN的中位線，

∴EF=DG=BM，EG=DF=CN，

∵AB=AC，AM=AN，

∴BM=CN，

∴EF=DF=EG=DG，

∴四邊形EFDG是菱形，

故答案為：菱形；

（2）不變，

證明：由旋轉得∠BAM=∠CAN，

在△BAM和△CAN中，

∵，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM=CN，

∵點E、F分別是MN、BN的中點，

∴EF∥BM，EF=BM，

同理，DG∥BM，DG=BM，FD=CN，

∴EF∥DG，EF=DG，

∴四邊形EFDG是平行四邊形，

∴EF∥CN，BM=CN，

∴FD=BM=EF，

∴四邊形EFDG是菱形；

（3）添加條件：∠BAC=90°，

證明：如圖，設BM與CN交于點P，DF與BM交于點Q，

由（2）得∠ABM=∠ACN，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠ACB=90°，

∴（∠ABC﹣∠ABM）+（∠ACB+∠ACN）=90°，即∠PBC+∠PCB=90°，

∴∠BPC=90°，

∵DF∥CN，

∴∠BQD=90°，

∵DG∥BM，

∴∠FDG=90°，

∴菱形EFDG是正方形．