Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，點E是弧BD的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB=2∠BAE．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若，BD=5，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）連接AD，由圓周角定理得出∠1=∠2．證出∠C=∠BAD．由圓周角定理證出∠DAC+∠BAD=90°，得出∠BAC=90°，即可得出結論．

（2）過點F作FG⊥AB于點G．由三角函數得出sinB=，設AD=2m，則AB=3m，由勾股定理求出BD=m．求出m=．得出AD=2，AB=3．證出FG=FD．設BF=x，則FG=FD=5-x．由三角函數得出方程，解方程即可．

試題解析：（1）證明：連接AD.

∵ E是弧BD的中點，∴弧BE = 弧ED，∴∠BAD=2∠BAE．

∵，∴∠ACB=∠BAD

∵AB為⊙O直徑, ∴∠ADB=90°,∴∠DAC+∠ACB =90°.

∴∠BAC =∠DAC+∠BAD =90°.

∴AC是⊙O的切線.

（2）解：過點F作FG⊥AB于點G.

∵∠BAE=∠DAE，∠ADB=90°，∴GF=DF.

在Rt△BGF中，∠BGF=90°，

設BF=x，則GF=5-x，∴，x=3,即BF=3.