Question

【題目】根據題意解答

（1）如圖1，已知E是矩形ABCD的邊AB上一點，EF⊥DE交BC于點F，證明：△ADE∽△BFE．
（2）這個相似的基本圖形像字母K，可以稱為“K”型相似，但更因為圖形的結構特征是一條線上有3個垂直關系，也常被稱為“一線三垂直”，那普通的3個等角又會怎樣呢？
變式一如圖2，已知等邊三角形ABC，點D、E分別為BC，AC上的點，∠ADE=60°．
①圖中有相似三角形嗎？請說明理由．
②如圖3，若將∠ADE在△ABC的內部（∠ADE兩邊不與BC重合），繞點D逆時針旋轉一定的角度，還有相似三角形嗎？
（3）變式二如圖4，隱藏變式1圖形中的線段AE，在得到的新圖形中．
①如果∠B=∠C=∠ADE=50°，圖中有相似三角形嗎？請說明理由．
②如圖5，若∠B=∠C=∠ADE=∠a，∠a為任意角，還有相似三角形嗎？
（4）交式三已知，相鄰兩條平形直線間的距離相等，若等腰直角△ABC的三個頂點分別在這三條平行直線上，則cosa的值是（直接寫出結果）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠ADE+∠AED=90°，

∵EF⊥DE，

∴∠AED+∠BEF=90°，

∴∠ADE=∠BEF，

∵∠A=∠B=90°，

∴△ADE∽△BEF

（2）

解：①∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

根據三角形的內角和定理得，∠ADB+∠BAD=120°，

∵∠ADE=60°，

∴∠ADB+∠EDC=120°，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠B=∠C=60°，

∴△ABD∽△CDE

②∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

根據三角形的內角和定理得，∠FDB+∠BFD=120°，

∵∠FDE=60°，

∴∠FDB+∠EDC=120°，

∴∠BFD=∠CDE，

∵∠B=∠C=60°，

∴△FBD∽△CDE．

（3）

解：①∠B=∠C=50°，

根據三角形的內角和定理得，∠ADB+∠BAD=130°，

∵∠ADE=50°，

∴∠ADB+∠EDC=130°，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠B=∠C=130°，

∴△ABD∽△CDE

②B=∠C=α，根據三角形的內角和定理得，∠ADB+∠BAD=180°﹣α，

∵∠ADE=α，

∴∠ADB+∠EDC=180°﹣α，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠B=∠C=α，

∴△ABD∽△DCE．

（4）
【解析】解：（4）過點A作A⊥l1 ， 過點B作BE⊥l1交l3于F，
∴∠AFB=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中， ，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=CE，CD=BE，
設平行線間的距離為d，
∴AD=CE=2d，BE=CD=d，
∴DE=CD+CE=3d，
∴四邊形ADEF是矩形，
∴AF=DE=3d，BF=d，
在Rt△ABF中，AB= = d，
∴cosα= = = ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．