Question

【題目】如圖，已知直線y=3x﹣3分別交x軸，y軸于A，B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）

（1）求拋物線的解析式：

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM周長最短？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）存在點M使△ABM周長最短，其坐標為（﹣1，﹣2）

【解析】

（1）由直線解析式可求得A、B兩點的坐標，根據待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）連接BC交對稱軸于點M，由題意可知A、C關于對稱軸對稱，則可知MA=MC，故當B、M、C三點在同一條直線上時MA+MB最小，則△ABM的周長最小，由B、C坐標可求得直線BC的解析式，則可求得M點的坐標．

(1)在y=3x3中，令y=0求得x=1，令x=0可得y=3，

∴A(1,0),B(0,3)，

把A.B兩點的坐標分別代入y=x2+bx+c得：

解得

∴拋物線解析式為

(2)∵

∴拋物線的對稱軸為x=1，

∵A、C關于對稱軸對稱,且A(1,0)，

∴MA=MC,C(3,0)，

∴MB+MA=MB+MC，

∴當B.M、C三點在同一條直線上時MB+MC最小，此時△ABM的周長最小，

∴連接BC交對稱軸于點M，則M即為滿足條件的點，

設直線BC的解析式為y=kx+m，

∵直線BC過點B(0,3),C(3,0)，

∴

解得：

∴直線BC的解析式y=x3，

當x=1時，y=2，

∴M(1,2)，

∴存在點M使△ABM周長最短,其坐標為(1,2).