Question

【題目】如圖，△ABC和△ACD均為等邊三角形，E是BC上的一個動點，F是CD上的一個動點，且∠EAF＝60°.

(1)請判斷△AEF的形狀，并說明理由；

(2)當AB＝4時，求△AEF面積的最小值．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)3.

【解析】(1)由等邊三角形的性質得到AD＝AC，∠D＝∠ACB＝60°，∠BAC＝∠CAD＝60°．再由∠EAF＝60°，得到∠EAC＝∠FAD．即可證明△AEC≌△AFD，由全等三角形的性質得到AE＝AF，即可得到△AEF是等邊三角形．

(2)由△AEF為等邊三角形，得到S△AEF＝AE2．要使S△AEF最小，則需使AE最小，當AE⊥BC時，AE最小．求出AE的最小值，代入計算即可．

(1)△AEF是等邊三角形．理由如下：

∵△ABC和△ACD均為等邊三角形，∴AD＝AC，∠D＝∠ACB＝60°，∠BAC＝∠CAD＝60°．

又∵∠EAF＝60°，∴∠EAC＝∠FAD．在△AEC與△AFD中，∵∠EAC=∠FAD，AC=AD，∠ACE=∠D，∴△AEC≌△AFD(ASA)，∴AE＝AF．

又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形．

(2)由(1)知△AEF為等邊三角形，∴S△AEF＝AE2．要使S△AEF最小，則需使AE最小，當AE⊥BC時，AE最小．此時．在Rt△ABE中，∵AB＝4，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝2，∴AE＝．∴S△AEF的最小值為×()2＝．