Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，分別與AC、BC相交于點M、N．

(1)過點N作⊙O的切線NE與AB相交于點E，求證：NE⊥AB；

(2)連接MD，求證：MD＝NB．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】（1）如圖，連接ON，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得AD＝CD＝DB，從而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推導得出ON∥AB，再結合NE是⊙O的切線，ON//AB，繼而可得到結論；

（2）如圖，由（1）可知ON∥AB，繼而可得N為BC中點，根據圓周角定理可知∠CMD＝90°，繼而可得MD∥CB，再由D是AB的中點，根據得到MD＝NB．

（1）如圖，連接ON，

∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴AD＝CD＝DB，

∴∠DCB＝∠DBC，

又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，

∴∠ONC＝∠DBC，

∴ON∥AB，

∵NE是⊙O的切線，ON是⊙O的半徑，

∴∠ONE＝90°，

∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；

（2）如圖所示，由（1）可知ON∥AB，

∵OC＝OD，∴

∴CN＝NB＝CB，

又∵CD是⊙O的直徑，∴∠CMD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，

又∵D是AB的中點，∴MD＝CB，

∴MD＝NB．