Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象經過點，與軸分別交于點，點.點是直線上方的拋物線上一動點.

（1）求二次函數的表達式；

（2）連接，，并把沿軸翻折，得到四邊形.若四邊形為菱形，請求出此時點的坐標；

（3）當點運動到什么位置時，四邊形的面積最大？求出此時點的坐標和四邊形的最大面積.

Answer 1

【答案】（1）該二次函數的表達式為；（2）點P的坐標為（，）；（3）P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為．

【解析】（1）根據待定系數法，可得函數解析式；
（2）根據菱形的對角線互相平分，可得P點的縱坐標，根據函數值與自變量的對應關系，可得答案；
（3）根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得m的值，根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標．

【解答】（1）將點B和點C的坐標代入,

得 ，解得，．

∴ 該二次函數的表達式為．

（2）若四邊形POP′C是菱形，則點P在線段CO的垂直平分線上；

如圖，連接PP′，則PE⊥CO，垂足為E，

∵ C（0，3），　

∴ E（0，）,

∴ 點P的縱坐標等于．

∴ ,

解得，（不合題意，舍去），

∴ 點P的坐標為（，）．

（3）過點P作y軸的平行線與BC交于點Q，與OB交于點F，

設P（m，），設直線BC的表達式為，

則 , 解得 .

∴直線BC的表達式為 ．

∴Q點的坐標為（m，），

∴.

當，

解得，

∴ AO=1，AB=4，

∴ S四邊形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ

=

=

=．

當時，四邊形ABPC的面積最大．

此時P點的坐標為，四邊形ABPC的面積的最大值為．