Question

【題目】已知如圖，△ABC為等腰三角形，D為CB延長線上一點，連AD且∠DAC＝45°，BD＝1，CB＝4，則AC長為_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

作輔助線，構建正方形AHGF，則AF=GH=GF，設GC=x，則FG=AF=HG=x+2，DG=x-1，在Rt△DGC中，利用勾股定理列方程可求得x的值，最后利用勾股定理計算AC的長即可．

解：過A作AE⊥DC于E，將△AEC沿AC翻折得△AFC，將△ADE沿AD翻折得△ADH，延長FC、HD交于G，

則∠EAC=∠CAF，∠EAD=∠HAD，∠H=∠F=90°，
∴∠EAC+∠EAD=∠CAF+∠HAD，
∵∠DAC=45°，即∠EAC+∠EAD=45°，
∴∠HAF=90°，
∴四邊形AHGF是矩形，
∵AH=AE，AE=AF，
∴AH=AF，
∴四邊形AHGF是正方形，
∴AF=GH=GF，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=2，
由折疊得：FC=EC=2，HD=DE=3，
設GC=x，則FG=AF=HG=x+2，
∴DG=x-1，
在Rt△DGC中，DC2=DG2+GC2，
52=（x-1）2+x2，
解得：x1=4，x2=-3（舍），
∴AF=x+2=4+2=6，
Rt△ACF中，AC=2

故答案為：2．