Question

【題目】如圖，已知∠MON＝120°，點A，B分別在OM，ON上，且OA＝OB＝a，將射線OM繞點O逆時針旋轉得到OM′，旋轉角為α（0°＜α＜120°，且α≠60°），作點A關于直線OM′的對稱點C，畫直線BC交OM′于點D，連接AC，AD．

（1）求證：AD＝CD；

（2）如圖1，當0°＜α＜60°時，試證明∠ACD的大小是一個定值；

（3）當60°＜α＜120°時，（2）中的結論還成立嗎？請補全圖形并說明理由；

（4）△ACD面積的最大值為　 　．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）結論不變；（4）a2．

【解析】

（1）證明△ODC≌△ODA（SSS）即可解決問題；

（2）如圖1中，由題意OB＝OA＝OC，以O為圓心OC為半徑作⊙O，在⊙O上OA的下方取一點H，連接HB，HA．理由圓周角定理，圓內接四邊形的性質即可解決問題；

（3）結論不變．如圖2中，由題意OB＝OA＝OC，以O為圓心OC為半徑作⊙O，理由圓周角定理即可解決問題；

（4）證明△ACD是等邊三角形，可知當AC為⊙O的直徑時，△ACD的面積最大．

（1）如圖1中，連接OC，

∵點A與點C關于直線OD對稱，

∴OC＝OA，DC＝DA，

∵OD＝OD，

∴△ODC≌△ODA（SSS），

∴DC＝DA；

（2）如圖1中，由題意OB＝OA＝OC，以O為圓心OC為半徑作⊙O，在⊙O上OA的下方取一點H，連接HB，HA．

∵∠H＝∠AOB＝60°，∠H+∠BCA＝180°，

∴∠BCH＝120°，

∴∠ACD＝60°，

∴∠ACD是定值；

（3）結論不變．

理由：如圖2中，由題意OB＝OA＝OC，以O為圓心OC為半徑作⊙O，

∵∠AOB＝120°，∠ACB＝∠AOB，

∴∠ACB＝60°，

故結論成立；

（4）由（1）（2）可知：DC＝DA，∠ACD＝60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴當AC為⊙O的直徑時，△ACD的面積最大，

∴S△ADC＝×（2a）2＝a2．