Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)，頂點坐標(1，n)，與y軸的交點在(0，2)，(0，3)之間(包含端點)，則下列結論：①3a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③對于任意實數m，a+b≥am2+bm總成立；④關于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個不相等的實數根．其中結論正確的個數為(　　)

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用拋物線的開口方向可得a<0，再由拋物線的對稱軸可得b=-2a，由此可對①進行判斷；利用2≤c≤3結合已知條件可對②進行判斷；利用二次函數的性質可對③進行判斷；根據拋物線y＝ax2+bx+c直線y=n-1的交點個數可對④進行判斷.

∵拋物線開口向下，

∴a<0，

∵拋物線的對稱軸為直線x==1，

∴b=-2a，

∴3a+b=3a-2a=a<0，故①正確；

∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)，

∴a-b+c=0，∴c=-3a，

∵2≤c≤3，

∴2≤-3a≤3，

∴﹣1≤a≤﹣，故②正確；

∵拋物線的頂點坐標為（1，n），

∴x=1時，二次函數有最大值為n，

∴對于任意實數m ，總有a+b+c≥am2+bm+c，

即a+b≥am2+bm，故③正確；

∵拋物線的頂點坐標為（1，n），

∴拋物線y＝ax2+bx+c直線y=n-1有兩個交點，

∴關于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有兩個不相等的實數根，故④正確，

故選D.