Question

【題目】如圖，在△ACD中，AD=9，CD=3，△ABC中，AB=AC．

（1）如圖1，若∠CAB=60°，∠ADC=30°，在△ACD外作等邊△ADD′

①求證：BD=CD′；

②求BD的長．

（2）如圖2，若∠CAB=90°，∠ADC=45°，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②3（2）6

【解析】

（1）①根據等邊三角形的性質，可得，，由此可判定△BAD≌△CAD′，根據全等三角形對應邊相等即可得出結論；②先證明∠CDD'=90°，在Rt CDD'中根據勾股定理即可求得BD；

（2）作AE⊥AD，使AE=AD，連接DE、CE，證明△BAD≌△CAE，即可得BD=CE，然后證明∠CDE=90°，根據勾股定理即可求得CE，由此可得BD．

（1）①證明：∵AB=AC，∠CAB=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC=AB=BC，

∵△ADD'是等邊三角形，

∴AD=AD'=DD'=9，∠ADD'=∠DAD'=60°，

∴∠BAD=∠CAD'，

在△BAD和△CAD′中，，

∴△BAD≌△CAD′（SAS），

∴BD=CD'；

②解：∵∠ADD'=60°，∠ADC=30°，

∴∠CDD'=90°，

∴CD'===3，

∴BD=3；

（2）解：作AE⊥AD，使AE=AD，連接DE、CE，如圖2所示：

則△ADE是等腰直角三角形，

∴∠ADE=45°，DE=AD=9，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，

即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，

∵∠ADE=45°，∠ADC=45°，

∴∠CDE=90°，

∴CE===6，

∴BD=6．