Question

【題目】如圖1，點P(m，n)在一次函數y＝﹣x的圖象上，將點P繞點A(﹣，﹣)逆時針旋轉45°，旋轉后的對應點為P′．

（1）當m＝0時，求點P′的坐標；

（2）試說明：不論m為何值，點P′的縱坐標始終不變；

（3）如圖2，過點P作x軸的垂線交直線AP′于點B，若直線PB與二次函數y＝﹣x2﹣x+2的圖象交于點Q，當m＞0時，試判斷點B是否一定在點Q的上方，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）點 B一定在點Q的上方，見解析

【解析】

（1）當m＝0時，點P（0，0），而點A的坐標為（﹣，﹣），則點A在直線y＝x上且PA＝2，進而求解；

（2）點A的坐標為（﹣，﹣），故點A在直線y＝x上，則點P′A∥y軸，即可求解；

（3）求出直線AB的函數關系式為：y＝x+﹣，再求出點P、Q的坐標，即可求解．

（1）當m＝0時，點P（0，0），

∵點A的坐標為（﹣，﹣），

故點A在直線y＝x上且PA＝2，

∵點P繞點A（﹣，﹣）逆時針旋轉45°，

∴P′A∥y軸，

故；

（2）∵點A的坐標為（﹣，﹣），

故點A在直線y＝x上，則點P′A∥y軸，

∵P′A＝PA＝2，

∴點P 的縱坐標均為；

（3）點 B一定在點Q的上方，理由：

根據條件首先求出P'的坐標，

設直線AB的表達式為：y＝kx+b，

將點A、P′的坐標代入上式得：，解得，

從而求出直線AB的函數關系式為：y＝x+﹣，

當x＝m時，y＝，即點B（m，），

當x＝m時，yQ＝﹣m2﹣m+2，即點Q（m，﹣m2﹣m+2），

∴yB﹣yQ＝﹣（﹣m2﹣m+2）＝m2+，

∵m＞0

∴

∴yB＞yQ

∴點 B一定在點Q的上方．