Question

【題目】如圖，⊙O是梯形ABCD的內(nèi)切圓，AB∥DC，E、M、F、N分別是邊AB、BC、CD、DA上的切點(diǎn)．

（1）求證：AB+CD=AD+BC

（2）求∠AOD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）90°.

【解析】

（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理可證得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，進(jìn)而證明AB+DC=AD+BC；

（2）連OE、ON、OM、OF，通過(guò)證明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行線的性質(zhì)：同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可求出∠AOD的度數(shù)．

（1）證明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切線長(zhǎng)定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，

∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM，

∴AB+DC=AD+BC

（2）連OE、ON、OM、OF，

∵OE=ON，AE=AN，OA=OA，

∴△OAE≌△OAN，

∴∠OAE=∠OAN．

同理，∠ODN=∠ODF．

∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE．

又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°，

∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°，

∴∠AOD=180°﹣90°=90°．