Question

【題目】如圖，△ABC面積為1，第一次操作：分別延長(zhǎng)AB，BC，CA至點(diǎn)A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分別延長(zhǎng)A1B1，B1C1，C1A1至點(diǎn)A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此規(guī)律，第n次操作后，得到△AnBnCn，要使△AnBnCn的面積超過(guò)2020，則至少需要操作__________次．

Answer 1

【答案】4

【解析】

根據(jù)題意分析可得：每次操作后，△CC1B1、△A1B1B、△AA1C1邊長(zhǎng)變?yōu)椤?/span>ABC邊長(zhǎng)的2倍，故△A1B1C1面積變大為△ABC面積的7倍；即第n次操作后，面積變?yōu)?/span>7n；故要使得到的三角形的面積超過(guò)2020，最少經(jīng)過(guò)4次操作．

解：每次操作后，△CC1B1、△A1B1B、△AA1C1邊長(zhǎng)變?yōu)椤?/span>ABC邊長(zhǎng)的2倍，

故△A1B1C1面積變大為△ABC面積的7倍，

可得規(guī)律第n次操作后，面積變?yōu)?/span>7n，

∵，，

則7n≥2020，解得n最小為4．
故最少經(jīng)過(guò)4次操作，

故答案為：4；